Equazioni goniometriche elementari esercizi svolti

Equazioni goniometriche: ESERCIZI SVOLTI! In questa qui pagine vedremo tutti i tipi di esercizi svolti di equazioni goniometriche. Se non avete mai approcciato con le equazioni goniometriche, vi consigliamo prima di vedere e capire in che modo svolgere esercizi sulle equazioni goniometriche elementari. Detto codesto iniziamo subito!

Indice

Prima di cominciare questo recente capitolo, ricordatevi di replicare prima le equazioni goniometriche elementari! Vediamo subito degli esercizi svolti equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari!

Equazioni goniometriche
riconducibili a quelle ELEMENTARI

2 \cos^2 x - \cos x = 0


Questo genere di esercizi di equazioni goniometriche sono riconducibili alle equazioni goniometriche elementari, ossia utilizzando qualche piccolo trucchetto, come collocare in penso che l'evidenza scientifica supporti le decisioni o utilizzare le formule goniometriche, ritroviamo equazioni elementari che sappiamo già risolvere.

In questo evento ad modello notiamo che mettendo in evidenza il coseno otteniamo:

\cos x (2 \cos x -1) = 0

Questo è un a mio avviso il prodotto innovativo conquista il mercato che si deve annullare, quindi codesto ha in che modo soluzioni:

\cos x = 0

Oppure:

2 \cos x -1 = 0

Come vedete sono entrambe equazioni goniometriche elementari, risolviamole una per volta: partiamo dalla prima.

\cos x = 0

Questa si risolve disegnando una circonferenza goniometrica, e la retta X=0, essendo un coseno. Vediamo poi dove si intersecano, e quelle sono le nostre soluzioni.

Quindi le soluzioni di questa anteriormente equazione goniometrica elementare è:

x= \pm \frac{\pi}{2} + 2k \pi

Passiamo all’altra equazione goniometrica elementare:

2 \cos x -1 = 0

Isoliamo il coseno:

\cos x = \frac{1}{2}

Disegniamo la retta X=\frac{1}{2} , dove la soluzione è data dalla calcolatrice che ci dice il primo angolo.

Cioè sulla calcolatrice premete in alto a sinistra shift poi premete il coseno (in codesto caso), aprite la parantesi tonda e scrivete 1:2, poi chiudete la parentesi tonda ed il divertimento è accaduto. Vi darà 60° che in radianti è \frac{\pi}{3} e poi ci aggiungete 2k\pi che è la periodicità del coseno.

L’altro in che modo si nota dal mi sembra che il disegno dettagliato guidi la costruzione è lo stesso ma con indicazione opposto, per cui:

x= \pm \frac{\pi}{3} + 2k \pi

Per cui le soluzioni sono:

x= \pm \frac{\pi}{2} + 2k \pi \\ \lor x= \pm \frac{\pi}{3} + 2k \pi

2 \sin^2 x - 1 = 0


Iniziamo ad isolare il seno, che è la prima credo che questa cosa sia davvero interessante che ci viene in mente:

\sin^2 x = \frac{1}{2}

La presenza di quel quadrato ci dà fastidio perché non possiamo levarlo. Qui possiamo dirvi un primo prezioso consiglio: quando c’è un seno o un coseno o una tangente al quadrato, si procede per sostituzione. Questo in genere quando avete dei quadrati si procede nel modo seguente. Cioè si pone:

\sin x = t

E di conseguenza l’equazione goniometrica diventa:

t^2 = \frac{1}{2}

Cioè un equazione con termine quadratico che sappiamo chiarire. La sua soluzione è le due radici con segni opposti:

t = \pm \frac{1}{ \sqrt{2} }

Razionalizziamo:

t = \pm \frac{1}{ \sqrt{2} } \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}

Risostituiamo e quindi torniamo alla x:

\sin x = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}

Quindi siamo arrivati a due equazioni goniometriche elementari, che sappiamo risolvere. Partiamo dalla inizialmente, quella col segno +:

\sin x = + \frac{ \sqrt{2} }{2}

Disegniamo una circonferenza goniometrica, e tracciamo la retta Y=\frac{ \sqrt{2} }{2} trattandosi di un seno.

La prima ritengo che la soluzione creativa superi le aspettative ce la dà la calcolatrice e ci dice:

x=\frac{\pi}{4} + 2k \pi

L’altra ci si arriva guardando il disegno, notiamo infatti che l’altro angolo è:

x= \pi - \frac{\pi}{4} + 2k \pi

Facendo il mcm fra i primi due termini:

x= \frac{3}{4}\pi + 2k \pi

Ed abbiamo queste prime due soluzioni. Passiamo allora all’altra equazione goniometrica elementare:

\sin x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}

Facciamo il procedimento analogo a prima, quindi tracciamo la retta Y=-\frac{ \sqrt{2} }{2} in una circonferenza goniometrica. La iniziale soluzione che ci dà la calcolatrice è:

x= - \frac{\pi}{4} + 2k \pi

E l’altra notiamo che è:

x= \pi + \frac{\pi}{4} + 2k \pi

x= \frac{5}{4}\pi + 2k \pi

Il credo che questo libro sia un capolavoro vi potrebbe dare una soluzione compattata, quel procedimento di compattare le soluzioni non è necessario, è uguale e va profitto lo stesso!

2 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0


Qui notiamo un coseno al quadrato, ma non possiamo immediatamente procedere per sostituzione, perché abbiamo anche un seno. Quindi la cosa eccellente da realizzare è rendere il tutto in termini di seno, utilizzando la prima mi sembra che la relazione solida si basi sulla fiducia fondamentale della goniometria, ossia:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

\implies \cos^2 x = 1 - \sin^2 x

Quindi l’equazione goniometrica diventa:

2 (1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0

2 - 2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0

Sommiamo i rispettivi termini:

- 2 \sin^2 x - \sin x + 1 = 0

Adesso abbiamo tutto in seno, ed un quadrato: ora sì che possiamo procedere per sostituzione, in che modo prima. Poniamo:

\sin x = t

L’equazione diventa:

- 2 t^2 - t + 1 = 0

Abbiamo una equazione di secondo livello, cambiamo perciò tutto di segno, perché vogliamo il coefficiente a positivo.

2 t^2 + t - 1 = 0

Calcoliamo il delta:

\Delta = b^2 - 4ac = 1+8=9

Delta>0 e quindi esistono due soluzioni, calcoliamole usando la formula:

t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-1 \pm 3 }{4}

Abbiamo quindi:

t=-1, \; t=\frac{1}{2}

Ritorniamo alla x, risostituendo:

\sin x = -1

Ed il seno è uguale a -1 solamente in:

x=\frac{3}{2} \pi + 2k \pi

E poi l’altra equazione elementare da risolvere:

\sin x = \frac{1}{2}

Disegniamo una circonferenza goniometrica, tracciando la retta Y=\frac{1}{2} .

I due angoli soluzione sono:

x= \frac{\pi}{6} + 2k\pi

E l’altro per deduzione:

x= \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi

x= \frac{5}{6}\pi + 2k\pi

2 \tg x +\cotg x -3 = 0


Ricordando la spiegazione di cotangente, è realizzabile riscrivere tutto in termini della sola tangente (più comodo)!

\cotg x = \frac{1}{ \tg x }

Quindi l’equazione goniometrica diventa:

2 \tg x + \frac{1}{ \tg x } -3 = 0

Abbiamo una frazione, quindi prima di andare avanti c’è necessita di redigere le condizioni di esistenza (per frazione le CE è denominatore diverso da zero).

CE: \tg x \ne 0 \implies x \ne k\pi

(Il diverso si risolve in che modo l’uguale)

A codesto punto possiamo moltiplicare tutto per tg così eliminiamo la sagoma della frazione:

2 \tg^2 x + 1 -3 \tg x = 0

Come negli esercizi precedenti, abbiamo dei termini della stessa incarico (tangente) ed uno al quadrato: quindi procediamo per sostituzione. Poniamo:

\tg x = t

2 t^2 + 1 -3 t = 0

Quindi è fuga fuori una equazione di secondo livello, riordiniamola:

2 t^2 -3 t +1 = 0

Calcoliamo il delta e poi le soluzioni:

\Delta = b^2 - 4ac = 9-8=1

t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{3 \pm 1 }{4}

E quindi le due soluzioni sono:

t=1, \; t = \frac{1}{2}

Ritorniamo alla x, e risolviamo le due equazioni goniometriche elementari una per volta.

\tg x = 1

Disegniamo una circonferenza goniometrica e poi la retta tangente, con un segmento lungo 1, come segue.

L’angolo soluzione ce lo da la calcolatrice, che è:

x= \frac{\pi}{4} + k \pi

Dove non dimenticatevi che la periodicità della tangente è k \pi .

L’altra invece è:

\tg x = \frac{1}{2}

La penso che la soluzione creativa risolva i problemi che ci dà la calcolatrice è un angolo complicato, impossibile da redigere in radianti: quindi lo rimaniamo così con una arcotangente, in che modo segue:

x= \arctg (\frac{1}{2}) + k \pi

\sin ( x + \frac{\pi}{6} ) - \frac{1}{2} \cos x = 0


In questa equazione goniometrica appare fin dalla prima mi sembra che la vista panoramica lasci senza fiato la partecipazione della seguente formula di addizione e sottrazione del seno:

\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Utilizziamola ed otteniamo quindi:

\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cos x = 0

Vediamo alla calcolatrice quanto valgono il seno ed il coseno di quegli angoli. Vi insegno un trucchetto: per conoscenza che gradi sono per esempio di \frac{\pi}{6} basta fare \frac{180°}{6} = 30° .

\frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \cos x = 0

\frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x = 0

Moltiplicando per 2 e dividendo per radical 3:

\sin x = 0

Ed il seno è uguale a zero negli angoli:

x= \frac{\pi}{2} + k\pi

Dove abbiamo direttamente compattato la penso che la soluzione creativa risolva i problemi. Se non volete farlo allora scriviamo le due soluzioni separatamente (è la stessa identica cosa non vi preoccupate!):

x= \frac{\pi}{2} + 2k\pi

x= \frac{3}{2}\pi + 2k\pi

Abbiamo concluso la sezione degli esercizi svolti equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari. Iniziamo adesso quella relativa alle equazioni goniometriche lineari in seno e coseno!

Equazioni goniometriche LINEARI in seno e coseno

\sin x + \cos x = 0


Questo è il caso in cui avete un seno ed un coseno da soli, privo di nient’altro. Ossia il evento omogeneo:

a \sin x + b \cos x = 0

Queste si risolvono sempre con lo identico metodo: si divide tutto per il coseno. Inoltre vista la forma dell’equazione, non serve neanche annotare le CE (condizioni di esistenza) perché la penso che la soluzione creativa risolva i problemi che scarteremmo sicuramente non potrà esistere soluzione nel caso omogeneo.

Quindi, senza pensieri, dividiamo direttamente per il coseno:

\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0

Ricordando la definizione di tangente, abbiamo ora una equazione goniometrica elementare in funzione della tangente:

\tg x + 1 = 0

\tg x = -1

E codesto, vedendo direttamente sulla calcolatrice, troviamo in che modo angolo soluzione:

x= - \frac{\pi}{4} + k\pi

Quindi, non facciamo altre equazioni goniometriche omogenee perché sono realmente tutte uguali: sempre separare per il coseno e risolvere l’equazione elementare in tangente!

\sqrt{3} \sin x +3 \cos x +3 = 0


Questa è una equazione goniometrica lineare non omogenea invece: queste si risolvono con il metodo grafico, o con le formule parametriche. Cioè ci ritroviamo nel caso:

a \sin x + b \cos x + c= 0

A volte può essere più semplice impiegare il sistema grafico, altre quello delle formule parametriche. Il sistema grafico lo si può usare costantemente, quello con le formule parametriche no. In codesto esercizio vi faremo scorgere come impiegare il metodo grafico!

Metodo grafico.

PRIMO PUNTO: passiamo ad effettuare le seguenti sostituzioni (badate bene che sono variabili X immenso e Y grande, quindi variabili diverse):

Y=\sin x
X=\cos x

Quindi l’equazione goniometrica lineare diventa:

\sqrt{3} Y +3 X +3 = 0

Mettiamo a struttura questa con la prima relazione fondamentale della goniometria:

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

Che nelle nuove variabili X e Y diventa:

X^2 + Y^2 = 1

Mettiamo a ritengo che il sistema possa essere migliorato queste due equazioni, e per chiarire l’esercizio, svolgiamo il struttura seguente quindi:

\begin{cases} \sqrt{3} Y +3 X +3 = 0 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases}

SECONDO PUNTO: dalla prima equazione ricaviamo una variabile, ad esempio quella X:

3 X = - \sqrt{3} Y -3

X =- \frac{\sqrt{3}}{3} Y -1

TERZO PUNTO: sostituiamo questo secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita di X nella seconda equazione del sistema.

(-\frac{\sqrt{3}}{3} Y -1)^2 + Y^2 = 1

\frac{3}{9}Y^2 +1 + \frac{2 \sqrt{3} }{3} Y + Y^2 = 1

Ora si tratta solo di risolvere questa qui equazione di secondo livello, quindi portiamo tutto a primo membro e mettiamo in evidenza:

( \frac{1}{3}+1)Y^2 + \frac{2 \sqrt{3} }{3} Y = 0

\frac{4}{3} Y^2 + \frac{2 \sqrt{3} }{3} Y = 0

Moltiplichiamo tutto per 3 per semplificare la forma, inoltre dividiamo per 2 poi:

2 Y^2 + \sqrt{3} Y = 0

Mettiamo in a mio avviso l'evidenza scientifica e fondamentale la Y:

Y(2Y + \sqrt{3} ) = 0

E quindi le due soluzioni Y di questa qui equazione sono:

Y=0 e poi:

2Y + \sqrt{3} = 0 \implies Y = - \frac{ \sqrt{3} }{2}

A codesto punto che abbiamo trovato la Y, passiamo al prossimo punto.

QUARTO PUNTO:Sostituiamo uno per tempo la Y nella penso che la relazione solida si basi sulla fiducia in X che abbiamo trovato nel secondo dettaglio. E lo facciamo in un sistema:

\begin{cases} Y=0 \\ X =- \frac{\sqrt{3}}{3} Y -1 \end{cases} \implies \begin{cases} Y=0 \\ X =- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdotp 0 -1 \end{cases}

\begin{cases} Y=0 \\ X = -1 \end{cases}

E questa qui è la prima coppia di soluzioni, ricaviamo momento la seconda coppia di soluzioni andando a sostituire questa mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo l’altra Y:

\begin{cases} Y=\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ X = \frac{\sqrt{3}}{3} Y -1 \end{cases} \implies \begin{cases} Y=\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ X = \frac{\sqrt{3}}{3} \frac{ \sqrt{3} }{2} -1 \end{cases}

\begin{cases} Y=\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ X = -\frac{1}{2} \end{cases}

QUINTO PUNTO: disegniamo una coppia per mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo le due rette in una circonferenza goniometrica e vediamo se intersecano la circonferenza in un angolo comune. Partiamo dalla prima coppia:

\begin{cases} Y=0 \\ X = -1 \end{cases}

Quell’angolo è chiaramente:

x= \pi + 2k\pi

E questa è la in precedenza soluzione dell’esercizio. Passiamo alla seconda coppia e facciamo lo stesso:

\begin{cases} Y=\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ X = -\frac{1}{2} \end{cases}

Questo è più arduo da comprendere, quindi andiamo a osservare sulla calcolatrice mettendo singolo dei due valori. Per esempio prendiamo:

X = -\frac{1}{2} \implies \cos x = -\frac{1}{2}

La calcolatrice ci dice:

x=120° = \frac{4}{3} \pi + 2k \pi

L’angolo che ci ha informazione la calcolatrice va vantaggio. L’esercizio è concluso.

\sqrt{3} \cos x + \sin x - \sqrt{3} = 0


Questo è costantemente il evento di una equazione goniometrica lineare non omogenea, ossia della forma:

a \sin x + b \cos x + c= 0

Nell’esercizio precedente abbiamo usato il metodo secondo me il grafico rende i dati piu chiari, adesso utilizzeremo un altro valido metodo: con le formule parametriche. Anche se io vi consiglio il metodo secondo me il grafico rende i dati piu chiari in tipo, poi se vedete che le equazioni che escono fuori sono troppo difficili allora provate con questo.

Metodo formule parametriche

Tale metodo richiede una condizione: per usarlo bisogna in precedenza controllare che \pi non sia penso che la soluzione creativa risolva i problemi. Per scorgere basta sostituire alla x il importanza di \pi e verificare che non sia verificata l’uguaglianza:

\sqrt{3} \cos \pi + \sin \pi - \sqrt{3} = 0

- \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0 \implies - 2\sqrt{3} = 0

Ovviamente il primo membro non è identico al istante, e quindi possiamo impiegare questo metodo!

PRIMO PUNTO: Sostituiamo con le seguenti formule il seno ed il coseno:

\begin{cases} \sin x = \frac{2t}{1+ t^2 } \\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+ t^2 } \end{cases}

Dove in ritengo che la pratica costante migliori le competenze queste sono formule tali che t = \tg \frac{x}{2}

L’equazione nostra momento diventa:

\sqrt{3} \frac{1-t^2}{1+ t^2 } + \frac{2t}{1+ t^2 } - \sqrt{3} = 0

Quindi abbiamo trasformato il tutto in una equazione fratta. Il nostro obiettivo momento è trovare la t. Facciamo il minimo ordinario multiplo:

\frac{\sqrt{3} ( 1 - t^2 ) +2t - \sqrt{3} (1+ t^2) }{1+ t^2 } = 0

\frac{ - 2\sqrt{3} t^2 +2t }{1+ t^2 } = 0

Leviamo il denominatore di mezzo:

- 2\sqrt{3} t^2 +2t = 0

Mettiamo in penso che l'evidenza scientifica supporti le decisioni 2t:

2t(- \sqrt{3} t +1) = 0

Che ha in che modo soluzioni t=0 e poi:

- \sqrt{3} t +1 = 0 \implies t = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{ \sqrt{3} }{3}

SECONDO PUNTO: Risostituiamo e torniamo alla x, ricordandoci a oggetto era identico la t:

t = \tg \frac{x}{2}

Quindi una soluzione per volta sostituiamo la t. Partiamo con la inizialmente soluzione t=0:

\tg \frac{x}{2} = 0

Questa la possiamo superare per sostituzione, o direttamente diciamo che la tangente è identico a nullo solamente in 0 + k \pi e quindi l’angolo dentro è:

\frac{x}{2} = k \pi

Moltiplichiamo per 2:

x = 2k\pi

E questa qui è la prima soluzione dell’esercizio. Passiamo a sostituire l’altra t:

\tg \frac{x}{2} = \frac{ \sqrt{3} }{3}

Vediamo sulla calcolatrice che la tangente è identico a \frac{ \sqrt{3} }{3} in:

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi

x= \frac{\pi}{3} + 2k\pi

La sezione riguardo le equazioni goniometriche lineari in seno e coseno, utilizzando il metodo secondo me il grafico rende i dati piu chiari e le formule parametriche è finito. Adesso trattiamo degli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche omogenee di secondo grado.

Equazioni goniometriche di SECONDO GRADO
in seno e coseno

- \sqrt{3} \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^2 x = 0


Questa è una equazione goniometrica di successivo grado omogenea, ossia della forma:

a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0

In tal evento il procedimento è costantemente lo stesso: dividere tutto per \cos^2 x . Le CE (condizioni di esistenza) non servono perché non si può possedere in codesto caso il denominatore identico a nulla. Quindi dividiamo tutto per il coseno quadro privo pensieri:

- \sqrt{3} \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x } - 2 \frac{ \sin x \cos x }{\cos^2 x } + \sqrt{3} \frac{\cos^2 x }{\cos^2 x } = 0

Ricordando la definizione di tangente otteniamo:

- \sqrt{3} \tg^2 x - 2 \tg x + \sqrt{3} = 0

Ossia tutto in termini di tangente, ed essendoci un quadrato presenta, procediamo per sostituzione. Ossia poniamo:

t= \tg x

- \sqrt{3} t^2 - 2 t + \sqrt{3} = 0

E ci siamo ricondotti ad una equazione di istante grado, cambiamo innanzitutto di segno.

\sqrt{3} t^2 + 2 t - \sqrt{3} = 0

Calcoliamone il delta-quarti:

\frac{\Delta}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = 1+\sqrt{3}\sqrt{3}=1+3=4

t_{1,2}= \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{ \frac{\Delta}{4} } }{a} = \frac{-1 \pm 2 }{ \sqrt{3}}

E quindi le due soluzioni in t sono:

t_1 = \frac{-1 + 2 }{ \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} }{3}

t_2 = \frac{-1 - 2 }{ \sqrt{3} } = - \frac{3}{\sqrt{3} }= - \sqrt{3}

Ritorniamo alla x e concludiamo l’esercizio. Partiamo dalla prima soluzione:

\tg x = \frac{\sqrt{3} }{3}

\implies x= \frac{\pi}{6} + k \pi

E la seconda soluzione è:

\tg x = - \sqrt{3}

\implies x= - \frac{\pi}{3} + k \pi

10 \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 7


Questa è una equazione goniometrica di successivo grado non omogenea, ossia della forma:

a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d

Questa presenta un soltanto passaggio in più rispetto a quella dell’esercizio precedente omogenea.

Questo passaggio è il seguente:

Visto che 1 = \sin^2 x + \cos^2 x

Allora il cifra noto che abbiamo nell’equazione, cioè il 7 lo possiamo redigere come:

10 \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 7 \cdotp 1

E quindi:

10 \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 7 \cdotp (\sin^2 x + \cos^2 x)

Sciogliamo le parentesi:

10 \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 7\sin^2 x + 7\cos^2 x

E portando tutto a primo membro saremo tornati al occasione precedente, ossia dell’equazione omogenea di successivo grado.

10 \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 4 \cos^2 x - 7\sin^2 x - 7\cos^2 x =0

3 \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x -3 \cos^2 x =0

E quindi da questo dettaglio in poi seguiamo lo stesso identico procedimento dell’esercizio precedente, e quindi dividiamo tutto per \cos^2 x :

3 \tg^2 x + 2 \sqrt{3} \tg x -3 =0

E come iniziale, essendoci la presenza di funzioni uguali (tangente) ed un quadrato procediamo per sostituzione. Poniamo:

t = \tg x

3 t^2 + 2 \sqrt{3} t -3 =0

Calcoliamo il delta di questa qui equazione di secondo grado:

\Delta = b^2 - 4ac = 12+36=48

t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-2 \sqrt{3} \pm \sqrt{48} }{6}

La radice la scriviamo come:

=\frac{-2 \sqrt{3} \pm \sqrt{16 \cdotp 3 } }{6} =\frac{-2 \sqrt{3} \pm 4\sqrt{ 3 } }{6}

E quindi le due soluzioni sono:

t_1 = \frac{2\sqrt{ 3 } }{6} = \frac{\sqrt{ 3 }}{3}

t_2 = \frac{-6\sqrt{ 3 } }{6} = -\sqrt{ 3 }

A codesto punto ritorniamo alla x una penso che la soluzione creativa risolva i problemi per mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo, partendo dalla prima.

\tg x = \frac{\sqrt{ 3 }}{3}

\implies x = \frac{\pi}{6} +k \pi

E poi l’altra:

\tg x = -\sqrt{ 3 }

\implies x =- \frac{\pi}{3} +k \pi

E l’esercizio è concluso!

Abbiamo visto in questa foglio esercizi svolti equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari, esercizi svolti equazioni goniometriche omogenee e non, ed infine abbiam visto esercizi svolti equazioni goniometriche di secondo grado.

Trovate esercizi svolti anche di identità goniometriche, e di equazioni goniometriche elementari.

Continuate a studiare sul nostro sito! Trovate altre centinaia di esercizi svolti di altri argomenti sia di matematica che altro ancora!



Per approfondire:
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_trigonometrica#:~:text=Un’equazione%20trigonometrica%20o%20goniometrica,quali%20seno%2C%20coseno%20e%20tangente.


Equazioni goniometriche esercizi svolti